🪅 Primzahlen

[★ Ronald Johannes deClaire Schwab]

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat. Dabei bedeutet primus speziell ,,Anfang, das Erste ", sodass eine ,,Anfangszahl" gemeint ist, die aus keiner anderen natürlichen Zahl multiplikativ konstruiert werden kann. Die Menge der Primzahlen wird in der Regel mit dem Symbol \mathbb P bezeichnet.
Die Frage, wie viele Primzahlen es gibt, wird durch den fundamentalen Satz beantwortet: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Primzahlen gehören zu den natürlichen Zahlen. Sie haben aber eine besondere Eigenschaft:
Definition von Primzahlen
Primzahlen haben genau zwei Teiler: Sie sind nur durch sich selbst und durch 1 teilbar.
Beachte, dass diese Definition für die Zahlenmenge der natürlichen Zahlen gilt. Zwar kannst du beispielsweise 15 durch 2 teilen: 15:2=7,5
. Du erhältst dann aber als Ergebnis eine rationale Zahl. Innerhalb der natürlichen Zahlen wäre 15 nicht ohne Rest durch 2 teilbar.
Du kannst dir außerdem schon merken, dass alle Primzahlen ungerade sind, mit Ausnahme der Zahl 2. Warum? Weil eine Primzahl nur genau zwei Teiler haben darf – doch von der Zahl 2 abgesehen haben alle geraden natürlichen Zahlen mindestens drei Teiler: die 1, sich selbst und die 2, denn gerade Zahlen sind ja immer durch 2 teilbar. Deshalb können Primzahlen größer als 2 ausschließlich ungerade sein.
Besonderheit: Sind 0 und 1 Primzahlen?
Lass uns anhand unserer Definition überprüfen, ob 0 und 1 zu den Primzahlen gehören. Wir wissen bereits, dass jede Primzahl durch sich selbst und durch 1 teilbar ist und genau zwei Teiler hat.
Die Zahl 0 können wir durch 1 teilen. Wie du sicher weißt, dürfen wir allerdings nicht durch 0 teilen – somit ist 0 nicht durch sich selbst teilbar und daher keine Primzahl.
Die Zahl 1 sieht auf den ersten Blick wie eine Primzahl aus. Schließlich ist sie sowohl durch 1 als auch durch sich selbst teilbar. Allerdings: Eine Primzahl hat genau zwei Teiler – die 1 hat jedoch nur einen Teiler, nämlich 1. Daher ist auch sie keine Primzahl.

Die Primzahlen von 1 bis 100
Es ist für das Rechnen im Matheunterricht hilfreich, wenn du zumindest die Primzahlen bis 100 auswendig kennst oder auf einer Liste parat hast:
Die Primzahlen bis 100 lauten:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
Primzahlen helfen dir zum Beispiel dabei, mit Brüchen zu rechnen. Du weißt zum Beispiel, wenn du auf eine Primzahl stößt, dass du diese Zahl nicht weiter teilen und somit den Bruch nicht weiter kürzen kannst. Auch den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache kannst du mithilfe von Primzahlen leichter berechnen. Lass uns daher genauer betrachten, wie du Primzahlen bestimmen kannst.
Fun Fact
Primzahlen kommen zum Beispiel auch in der Verschlüsselungstechnik zum Einsatz. Da es bei großen Zahlen selbst für Computer viel Zeit braucht herauszufinden, ob es sich um eine Primzahl handelt, lassen sich mit diesen Berechnungen Daten sichern. Das ist zum Beispiel im Online-Banking wichtig – denn diese Daten soll natürlich kein Unbefugter einfach errechnen können.
Primzahlen bestimmen
Jede natürliche Zahl, die selbst keine Primzahl ist, lässt sich als ein Produkt aus Primzahlen darstellen. Zum Beispiel:
12=2⋅2⋅3
14=2⋅7
30=2⋅3⋅5
Diese Tatsache kann bei bestimmten Rechnungen sehr nützlich sein. Doch wie findest du überhaupt heraus, ob es sich bei deiner Zahl um eine Primzahl handelt? Du kannst als Methode zum Beispiel das Sieb des Eratosthenes nutzen.
Exkurs: Das Sieb des Eratosthenes
Wenn du eine bestimmte Menge Zahlen auf Primzahlen prüfen möchtest, ist das Sieb des Eratosthenes eine geeignete Methode.
icon
Fun Fact
Eratosthenes von Kyrene lebte ein paar Jahrhunderte vor Christus in Alexandria – das liegt im heutigen Ägypten. Das Sieb des Eratosthenes ist nach ihm benannt. Erfunden hat er die Methode allerdings nicht – sie war zu seiner Zeit bereits bekannt.
Lass uns das Verfahren ,,Sieb des Eratosthenes" anhand der Zahlen 1 bis 100 einmal ausprobieren. Zunächst schreibst du alle Zahlen auf – der Übersichtlichkeit halber am besten in Tabellenform:
1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
11    12    13    14    15    16    17    18    19    20
21    22    23    24    25    26    27    28    29    30
31    32    33    34    35    36    37    38    39    40
41    42    43    44    45    46    47    48    49    50
51    52    53    54    55    56    57    58    59    60
61    62    63    64    65    66    67    68    69    70
71    72    73    74    75    76    77    78    79    80
81    82    83    84    85    86    87    88    89    90
91    92    93    94    95    96    97    98    99    100
Nun beginnen wir mit der Zahl 1. Wir wissen bereits, dass diese keine Primzahl ist. Daher streichen wir sie durch:
1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
11    12    13    14    15    16    17    18    19    20
21    22    23    24    25    26    27    28    29    30
31    32    33    34    35    36    37    38    39    40
41    42    43    44    45    46    47    48    49    50
51    52    53    54    55    56    57    58    59    60
61    62    63    64    65    66    67    68    69    70
71    72    73    74    75    76    77    78    79    80
81    82    83    84    85    86    87    88    89    90
91    92    93    94    95    96    97    98    99    100
Die nächste Zahl in unserer Liste ist die 2. Die 2 ist, wie wir bereits wissen, eine Primzahl. Wir lassen sie daher stehen. Jedes Mal, wenn wir eine Primzahl entdeckt haben, streichen wir im Sieb des Eratosthenes alle Vielfachen dieser Zahl, in diesem Fall also alle Vielfachen der 2. Das tun wir, da alle diese gestrichenen Zahlen einen dritten Teiler (hier die 2) haben und somit keine Primzahlen sein können.
1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
11    12    13    14    15    16    17    18    19    20
21    22    23    24    25    26    27    28    29    30
31    32    33    34    35    36    37    38    39    40
41    42    43    44    45    46    47    48    49    50
51    52    53    54    55    56    57    58    59    60
61    62    63    64    65    66    67    68    69    70
71    72    73    74    75    76    77    78    79    80
81    82    83    84    85    86    87    88    89    90
91    92    93    94    95    96    97    98    99    100
Die nächste Zahl ist die 3. Die Zahl 3 ist durch sich selbst und durch 1 teilbar, hat aber keine weiteren Teiler. Es handelt sich also wieder um eine Primzahl. Wir lassen daher die 3 stehen, streichen aber alle ihre Vielfachen aus der Liste:
1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
11    12    13    14    15    16    17    18    19    20
21    22    23    24    25    26    27    28    29    30
31    32    33    34    35    36    37    38    39    40
41    42    43    44    45    46    47    48    49    50
51    52    53    54    55    56    57    58    59    60
61    62    63    64    65    66    67    68    69    70
71    72    73    74    75    76    77    78    79    80
81    82    83    84    85    86    87    88    89    90
91    92    93    94    95    96    97    98    99    100
Wie du siehst, ist die nächste Zahl – die 4 – bereits durchgestrichen. Wir können also direkt zur 5 übergehen. Die 5 ist durch sich selbst und durch 1 teilbar. Weitere Teiler gibt es nicht. Wir haben also erneut eine Primzahl gefunden und streichen alle Vielfachen:
1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
11    12    13    14    15    16    17    18    19    20
21    22    23    24    25    26    27    28    29    30
31    32    33    34    35    36    37    38    39    40
41    42    43    44    45    46    47    48    49    50
51    52    53    54    55    56    57    58    59    60
61    62    63    64    65    66    67    68    69    70
71    72    73    74    75    76    77    78    79    80
81    82    83    84    85    86    87    88    89    90
91    92    93    94    95    96    97    98    99    100
Eine letzte Runde noch: Diesmal gehen wir direkt zur 7, da diese die nächste nicht gestrichene Zahl ist. Wir stellen fest: Auch bei der 7 handelt es sich um eine Primzahl, denn sie hat keine Teiler außer 1 und 7, sodass wir nun alle deren Vielfachen streichen.
1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
11    12    13    14    15    16    17    18    19    20
21    22    23    24    25    26    27    28    29    30
31    32    33    34    35    36    37    38    39    40
41    42    43    44    45    46    47    48    49    50
51    52    53    54    55    56    57    58    59    60
61    62    63    64    65    66    67    68    69    70
71    72    73    74    75    76    77    78    79    80
81    82    83    84    85    86    87    88    89    90
91    92    93    94    95    96    97    98    99    100
Für die Zahlen von 1 bis 100 war das der letzte verbleibende Schritt. Die Zahlen, die noch nicht durchgestrichen sind, sind allesamt Primzahlen:
1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
11    12    13    14    15    16    17    18    19    20
21    22    23    24    25    26    27    28    29    30
31    32    33    34    35    36    37    38    39    40
41    42    43    44    45    46    47    48    49    50
51    52    53    54    55    56    57    58    59    60
61    62    63    64    65    66    67    68    69    70
71    72    73    74    75    76    77    78    79    80
81    82    83    84    85    86    87    88    89    90
91    92    93    94    95    96    97    98    99    100
Natürlich kannst du mit dieser Methode auch größere Zahlenmengen auf Primzahlen überprüfen. Jedoch wird das Verfahren aufwendiger, je mehr und je größere Zahlen du prüfen möchtest. Wenn du eine bestimmte Zahl auf Teilbarkeit prüfen möchtest, kannst du das auf einfachere Weise tun.
(Prim-)Zahlen auf Teilbarkeit prüfen
Die Teilbarkeitsregeln helfen dir herauszufinden, ob es sich bei einer Zahl um eine Primzahl handelt oder nicht. Du überprüfst einfach der Reihe nach, ob die Zahl durch 2, 3, 4 und so weiter teilbar ist. Dazu schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Beispiel: Ist 21 eine Primzahl?
Wir prüfen die Zahl 21 anhand der Teilbarkeitsregeln auf ihre Teiler:
    2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist. Die letzte Ziffer der 21 lautet 1. Sie ist nicht gerade. 2 ist also kein Teiler von 21.
    3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Die Quersumme von 21 ist 3. 21 ist also durch 3 teilbar.
An dieser Stelle kannst du aufhören zu forschen, denn du hast bereits einen dritten Teiler (neben 1 und 21) gefunden. Somit kann 21 keine Primzahl sein.
Beispiel: Ist 49 eine Primzahl?
Wir prüfen die Zahl wieder mithilfe der Teilbarkeitsregeln:
    2: Die letzte Ziffer von 49 lautet 9. 9 ist ungerade, daher ist 49 nicht durch 2 teilbar.
    3: Die Quersumme von 49 ist 13. 13 ist nicht durch 3 teilbar, somit können wir auch 49 nicht durch 3 teilen.
    4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl aus ihren letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist. 49 besteht allerdings nur aus zwei Ziffern, sodass diese Regel uns hier nicht weiterhilft. Wir müssen also die 4er-Reihe durchgehen: 12 · 4 = 48 und 13 · 4 = 52. 49 ist nicht ohne Rest durch 4 teilbar.
    5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist. Das ist hier nicht der Fall.
    6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist. Das haben wir bereits ausgeschlossen.
    7: Hier hilft uns die 7er-Reihe weiter: 7 · 7 = 49. Wir haben einen dritten Teiler gefunden!
Da die Zahl 49 mindestens durch 1, 7 und 49 teilbar ist, wissen wir nun, dass es sich auch hier nicht um eine Primzahl handelt.
Beispiel: Ist 13 eine Primzahl?
Nun kennst du das Vorgehen bereits. Wir prüfen die 13 auf Teilbarkeit:
    2: Die letzte Ziffer der 13, die 3, ist ungerade. 13 ist also nicht durch 2 teilbar.
    3: Die Quersumme von 13 ist 4. Das ist nicht durch 3 teilbar und somit ist es die 13 auch nicht.
    4: Wir wissen aus der 4er-Reihe: 3 · 4 = 12 und 4 · 4 = 16. Die 13 ist also nicht ohne Rest durch 4 teilbar.
    5: Die letzte Ziffer der 13 ist weder 5 noch 0. 13 ist also nicht durch 5 teilbar.
    6: 13 ist nicht durch 2 und 3 teilbar – damit also auch nicht durch 6.
An dieser Stelle kannst du aufhören zu forschen, denn der nächste mögliche Teiler, die 7, wäre mit 2 multipliziert bereits 14. Du weißt nun also, dass es keine weiteren Teiler der 13 gibt. 13 ist nur durch 1 und durch sich selbst teilbar und daher eine Primzahl.
Anwendung: Primfaktorzerlegung
Wie bereits erwähnt, helfen dir Primzahlen beim Kürzen von Brüchen. Besonders nützlich ist es dabei, Primzahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Das nennt man dann Primfaktorzerlegung. Primfaktorzerlegung bedeutet, dass du Zahlen so weit zerlegst, dass am Ende ein Produkt ausschließlich aus Primzahlen entsteht.
Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Wir zerlegen die Zahl 36 in ihre Primfaktoren. Alle Primzahlen sind grün markiert:
36=2⋅18
36=2⋅2⋅9
36=2⋅2⋅3⋅3
Lass uns noch ein zweites Beispiel betrachten. Diesmal zerlegen wir die Zahl 700:
700=2⋅350
700=2⋅2⋅175
Da 175 nicht durch 2 teilbar ist, versuchen wir es nun mit der nächsten Primzahl, der 3. Die Quersumme von 175 ist jedoch 13 und damit nicht durch 3 teilbar. Erst mit der 5 kommen wir weiter:
700=2⋅2⋅5⋅35
700=2⋅2⋅5⋅5⋅7
Da 7 eine Primzahl ist, die wir nicht weiter zerlegen können, sind wir an dieser Stelle fertig.
Die Primfaktorzerlegung ist eine von mehreren Methoden, die du in der Bruchrechnung nutzen kannst, um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von Brüchen zu berechnen.
Fun Fact
Zwar werden Primzahlen seltener, je größer die betrachteten Zahlen werden. Doch schon vor mehr als 2.000 Jahren, nämlich etwa im 3. Jahrhundert vor Christus, konnte ein griechischer Mathematiker beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Sein Name war Euklid von Alexandria, und der Beweis heißt darum Satz des Euklid.
Die Primzahlen von 1 bis 1.000
Die folgende Liste kannst du bei den Hausaufgaben zur Hand haben. So kannst du schnell die Primzahlen von 1 bis 1.000 finden:
Primzahlen von 1 bis 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Primzahlen von 101 bis 200:
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
Primzahlen von 201 bis 300:
211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293
Primzahlen von 301 bis 400:
307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397
Primzahlen von 401 bis 500:
401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499
Primzahlen von 501 bis 600:
503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599
Primzahlen von 601 bis 700:
601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691
Primzahlen von 701 bis 800:
701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797
Primzahlen von 801 bis 900:
809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887
Primzahlen von 901 bis 1.000:
907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
Besonderheit: Primzahlzwillinge und Primzahldrillinge
Anhand der Liste mit den Primzahlen von 1 bis 1.000 kannst du nun auch sehr schön die sogenannten Primzahlzwillinge und Primzahldrillinge entdecken. Das sind Primzahlen, die nah beieinander liegen, und zwar so:
    Zwischen Primzahlzwillingen liegt jeweils nur eine Zahl, sodass die Differenz zwischen den beiden Primzahlen 2 beträgt. Das ist zum Beispiel bei den Zahlen 11 und 13 der Fall: 13 - 11 = 2
    Primzahldrillinge sind laut einer Definition drei Primzahlen, zwischen denen jeweils ebenfalls nur eine Zahl liegt – wie die Zahlen 3, 5 und 7. Laut dieser Definition gäbe es aber nur dieses eine Set an Zahlen für einen Primzahldrilling. Deshalb lässt man auch folgende Definition zu: Zwischen zwei der drei Primzahlen liegt genau eine Zahl, zwischen den anderen beiden drei Zahlen. Beispiel: 11, 13, 17 oder auch 37, 41, 43.
In der Liste oben findest du auch größere Primzahlzwillinge wie 239 und 241 und Primzahldrillinge wie 347, 349, 353.
Bis heute ist man sich nicht sicher, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge und -drillinge gibt. Der Grund dafür ist, dass man immer weniger Primzahlen findet, je größere Zahlen man betrachtet.
Formel
Gemeint ist hier eine Formel, die entweder alle Primzahlen liefert oder doch zumindest als Lösung immmer Primzahlen liefert. Eine der bekanntesten Formeln dieser Art ist y=n²+n+41. Diese Formel liefert für viele n (n- natürliche Zahl) Primzahlen, nicht immer, aber erstaunlich oft.
Primzahlen Primzahlen finden Wissenswertes über Primzahlen Primzahlen Eine natürliche Zahl größer als 1 ist eine Primzahl, wenn sie nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Das bedeutet, eine natürliche Zahl ist eine Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt.
Eigenschaften
Primzahlen haben genau zwei Teiler: Sie sind nur durch sich selbst und durch 1 teilbar. Beachte, dass diese Definition für die Zahlenmenge der natürlichen Zahlen gilt. Zwar kannst du beispielsweise 15 durch 2 teilen: 15:2=7,5. Du erhältst dann aber als Ergebnis eine rationale Zahl.