🇦🇹 Unverdrossen mit einem Servus aus Wien!
⭐️ Bodhie Ronald Johannes deClaire Schwab
Zitat📘 WICHTIGE ANMERKUNG: Achten Sie beim Studieren dieses eBuch sehr, sehr sorgfältig darauf, dass Sie niemals über "ein Wort" (https://de.wikipedia.org/wiki/Wort) hinweggehen, das Sie "nicht vollständig sinnerfassend" verstehen.ZitatDer einzige Grund warum jemand ein Studium aufgibt verwirrt oder lernunfähig wird liegt darin dass er über ein "nicht verstandenes oder missverstandenes Wort" hinweggegangen ist. Wenn der Stoff verwirrend wird oder Sie ihn anscheinend nicht begreifen können wird es kurz davor "ein Wort" geben das Sie nicht verstanden haben. Gehen Sie nicht weiter, sondern gehen Sie VOR den Punkt zurück wo Sie in Schwierigkeiten gerieten, finden Sie "das missverstandene Wort" und sehen Sie zu, dass Sie seine Definition (https://de.wikipedia.org/wiki/Definition) bekommen.
Zitat🚩.WICHTIGE ANMERKUNG: Achten Sie beim Studieren dieses eBuch sehr, sehr sorgfältig darauf, dass Sie niemals über ein Wort hinweggehen, das Sie nicht vollständig verstehen. Der einzige Grund warum jemand ein Studium aufgibt verwirrt oder lernunfähig wird liegt darin dass er über ein nicht verstandenes Wort oder eine nicht verstandene Redewendung hinweggegangen ist. Wenn der Stoff verwirrend wird oder Sie ihn anscheinend nicht begreifen können wird es kurz davor ein Wort geben das Sie nicht verstanden haben. Gehen Sie nicht weiter sondern gehen Sie VOR den Punkt zurück wo Sie in Schwierigkeiten gerieten finden Sie das missverstandene Wort und sehen Sie zu, dass Sie seine Definition bekommen.
Zitat➦ Warum sagt man Studierende statt Studenten? Weil genus (https://de.wikipedia.org/wiki/Genus) und sexus (https://de.wikipedia.org/wiki/Sexus) nicht auseinandergehalten werden können (weswegen der Student nicht für beide Geschlechter reichen soll) und die Doppelung ,,Student und Student*in" zu mühsam erscheint, wird also das Partizip (https://de.wikipedia.org/wiki/Partizip) zur Statusbezeichnung (https://de.wikipedia.org/wiki/Status).Grundlegendes Wortklären ist die Methode, ein missverstandenes Wort zu finden, indem man früher im Text als dort, wo man Schwierigkeiten hat, Ausschau hält. Wenn Sie etwas lernen, ist es wichtig zu wissen, wie Sie dafür sorgen, dass Sie weiterhin gut vorankommen und dass es Ihnen weiterhin gut geht.
Zitathttps://de.wikipedia.org/wiki/Murmelspiel
ZitatMasse bedeutet die tatsächlichen materiellen Gegenstände, über die Sie etwas lernen, im Gegensatz zu ihren Bedeutungen oder Vorstellungen über sie. Dazu gehören Dinge wie z. B. Äpfeln, Münzen, Murmeln, ähnliches usw..
Zitat Gleichung. ...https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik
Multiplikation: Faktoren und Produkt. ...
https://de.wikipedia.org/wiki/Multiplikation
https://de.wikipedia.org/wiki/Faktor
https://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Mathematik)
Addition: Summanden und Summe. ...
https://de.wikipedia.org/wiki/Addition
https://de.wikipedia.org/wiki/Addition
https://de.wikipedia.org/wiki/Summe
Subtraktion: Minuend, Subtrahend und Differenz. ...
https://de.wikipedia.org/wiki/Subtraktion
Division: Dividend, Divisor und Quotient. ...
https://de.wikipedia.org/wiki/Division_(Mathematik)
Term. ...
https://de.wikipedia.org/wiki/Term
Bruch, Zähler und Nenner. ...
https://de.wikipedia.org/wiki/Bruchrechnung
Dreieck.
https://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck
ZitatZitatDie ausführliche tabellarische Darstellung des kleinen Einmaleins wird Pythagoras zugeschrieben und daher in manchen Sprachen auch Pythagorasbrett bzw. Pythagorastabelle genannt, zum Beispiel im Französischen, Englischen und Italienischen, aber auch in der Montessoripädagogik.ZitatDas Differenzzeichen ∆ ist ein vom griechischen Großbuchstaben Delta abgeleitetes mathematisches Symbol. Es wurde zusammen mit dem vom griechischen Großbuchstaben Sigma abgeleiteten Summenzeichen ∑ 1755 von Leonhard Euler eingeführt. Johann I Bernoulli hatte das ∆ zuvor schon in anderer Verwendung vorgeschlagen.ZitatDas Elementzeichen (∈) ist ein mathematisches Zeichen, mit dem angegeben wird, dass ein Objekt ein Element einer Menge ist.ZitatEin Zeichen ist im weitesten Sinne etwas, das auf etwas anderes hindeutet, etwas bezeichnet. ... Zeichen ist dabei allgemein etwas Unterscheidbares, dem eine Bedeutung zugesprochen wird; ein sprachliches Zeichen als Grundelement eines Kommunikationssystems (also auch Gesten, Gebärden, Laute, Markierungen auch Symbole)ZitatEin Sonderzeichen ist (in der Typografie/Typometrie und der digitalen Datenverarbeitung) ein Schriftzeichen, das weder ein Buchstabe noch eine Ziffer ist. ... Auch Diakritika sind Sonderzeichen, z. B. Akut oder Breve (é, ă).ZitatZitatZusammenfassend kann gesagt werden: Es gibt drei grundlegende Typen von Zeichen: das Ikon, den Index und das Symbol. Jedes erweckt Vorstellungen oder Konzepte im Kopf des Wahrnehmenden, die mit dessen früheren Erfahrungen mit Objekten in der Welt verknüpft sind.ZitatSemiose (engl.: semiosis) bezeichnet den ,,Prozess, in dem etwas als Zeichen fungiert", den Zeichenprozess. Der Ausdruck wurde von Charles Sanders Peirce eingeführt. Seine konkrete Bedeutung ist abhängig von der zugrunde gelegten Semiose-Theorie. Grundlegend ist die Theorie von Peirce.
Semiose bezeichnet den ,,Prozess, in dem etwas als Zeichen fungiert", den Zeichenprozess. Der Ausdruck wurde von Charles Sanders Peirce eingeführt. Seine konkrete Bedeutung ist abhängig von der zugrunde gelegten Semiose-Theorie.ZitatDie Semiotik (auch: Semiologie) ist die Wissenschaft von den Zeichenprozessen in Kultur und Natur. Zeichen, wie zum Beispiel Bilder, Wörter, Gesten und Gerüche, vermitteln Informationen aller Art in Zeit und Raum.https://de.wikipedia.org/wiki/SemioseZitatOhne Semiose wären Kognition, Kommunikation und kulturelle Bedeutungen nicht möglich.
ZitatZitatMasseeinheiten
Die Basiseinheit für die Masse ist das Kilogramm.Für größere oder kleinere Massen verwendet man Einheiten, die durch Vervielfachen mit Potenzen von 10 aus dem Kilogramm abgeleitet sind, wie z. B. Tonne (t), Dezitonne (dt), Gramm (g) und Milligramm (mg).ZitatBeschleunigungsarbeit
Beschleunigungsarbeit wird verrichtet, wenn ein Körper durch eine Kraft beschleunigt wird.ZitatWaagen sind Messgeräte zur Bestimmung der Masse von Körpern. Es gibt sie in vielen unterschiedlichen Bauformen.ZitatWissenstest - Eigenschaften von Körpern und Stoffen
Zu den grundlegenden Eigenschaften von Körpern und Stoffen gehört es, ein Volumen und eine Masse zu haben.
Kennzeichnend für jeden Stoff ist seine Dichte. Der Aufbau der Stoffe kann mit einem einfachen Teilchenmodell beschrieben werden.ZitatInternationales Einheitensystem (SI)
Im Internationalen Einheitensystem (SI) sind Basiseinheiten für sieben physikalische Größen festgelegt. Die meisten anderen Einheiten lassen sich aus diesen sieben Einheiten ableiten.ZitatMasse von Körpern
Die Masse gibt an, wie leicht oder schwer und wie träge eine Stoffprobe oder Stoffportion ist.Formelzeichen: mEinheit: ein Kilogramm (1 kg); ein Gramm (1g)Die Masse einer Stoffprobe ist im Unterschied zur Gewichtskraft an jedem beliebigen Ort gleich groß.ZitatGeschichte und Entwicklung der Waage
Unter einer Waage versteht man ein mechanisches oder elektronisches Messinstrument, das zum Bestimmen von Massen benutzt wird. Waagen gibt es in verschiedensten Bauarten und Ausfertigungen, je nach Verwendung im Haushalt, in wissenschaftlichen Laboratorien, im Handel oder in Industriebetrieben.ZitatTeilchenanzahl
Eine Stoffprobe beinhaltet eine bestimmte Anzahl von Teilchen.ZitatWaage
Unter einer Waage versteht man ein mechanisches oder elektronisches Messinstrument, das zum Bestimmen von Massen benutzt wird. Waagen gibt es in verschiedensten Bauarten und Ausfertigungen, je nach Verwendung im Haushalt, in wissenschaftlichen Laboratorien, im Handel oder in Industriebetrieben.ZitatMasse und Energie – die Kernbindungsenergie
Die Kernbindungsenergie ist die Energie, die bei der Zerlegung eines Kerns in seine einzelnen Nukleonen, d. h. Protonen und Neutronen, aufgebracht werden muss. Den quantitativen Zusammenhang zwischen Masse und Energie kann man mit dem von ALBERT EINSTEIN entdeckten Zusammenhang berechnen.ZitatGrundgesetz der Dynamik der Rotation
Bei der Translation gilt zwischen der Kraft F, der Masse m und der Beschleunigung a der grundlegende Zusammenhang F → = m ⋅ a → , das newtonsche Grundgesetz. Es wird auch als Grundgesetz der Dynamik der Translation bezeichnet.ZitatVolumen von Körpern
Das Volumen (der Rauminhalt) gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt.Formelzeichen:Einheiten:V1 Kubikmeter (1 m 3 )1 Liter (1 l)Spezielle Volumeneinheiten sind ein Barrel (1 barrel) und eine Bruttoregistertonne (1 BRT).ZitatWissenstest, Eigenschaften von Körpern und Stoffen
Zu den grundlegenden Eigenschaften von Körpern und Stoffen gehört es, ein Volumen und eine Masse zu haben. Kennzeichnend für jeden Stoff ist seine Dichte.ZitatWissenstest, Spezielle Relativitätstheorie
Die von Albert Einstein entwickelte spezielle Relativitätstheorie führte zu neuen Vorstellungen von Zeit und Raum. Die Äquivalenz von Masse und Energie ist die Grundlage für das Verständnis von Kernumwandlungen und den damit verbundenen energetischen Prozessen.ZitatAbleitungen höherer Ordnung
Höhere Ableitungen einer Funktion f gestatten Rückschlüsse auf den Verlauf des Funktionsgraphen.Ein Beispiel praktischer Anwendung höherer Ableitungen stellt die Untersuchung von Bewegungsabläufen in der Physik (etwa der Anfahrfunktion eines Kraftfahrzeuges) dar.
Die Masse, veraltet auch Ruhemasse, ist eine Eigenschaft der Materie. Sowohl die auf einen Körper wirkenden als auch die von ihm verursachten Gravitationskräfte sind proportional seiner Masse. Ebenso bestimmt sie die Trägheit, mit der der Bewegungszustand des Körpers auf Kräfte reagiert.
ZitatAuf Einmaleins.at kannst du alle Einmaleinsreihen schnell und einfach lernen. Die Rechenaufgaben sind einfach und übersichtlich, sodass du direkt mit dem Üben der Einmaleinsreihen loslegen kannst. Wähle hierunter die Einmaleinsreihe, die du gerne üben möchtest. Zeige was du drauf hast beim Tempotest oder drucke tolle Arbeitsblätter aus.
https://www.einmaleins.at
ZitatDie Perlen der ersten Reihe haben den Wert "1", die der zweiten Reihe den Wert "10", die der dritten Reihe den Wert "100" usw. Will man zwei Zahlen addieren, so verschiebt man beginnend mit der höchsten Wertigkeit die entsprechenden Perlen.➦ 🧮https://de.wikipedia.org/wiki/Abakus_(Rechenhilfsmittel)
🧮 Ein einfaches Beispiel: 43 + 56 = ?
Die Addition von "43" und "56" verlangt, zunächst 4 Perlen in Reihe 2 (Reihe 2 sind die Zehner, davon haben wir in diesem Beispiel 4) und dann 3 Perlen in Reihe 1 (Reihe 1 sind die Einer, davon haben wir 3) zu verschieben. Um die "56" zu addieren, werden 5 Perlen in Reihe 2 (es sind 5 Zehner) und 6 Perlen in Reihe 1 (es sind 6 Einer) dazugeschoben. Ist eine Reihe voll, wird sie komplett zurückgeschoben (sie wird "gelöscht"), und in der nächsten Reihe wird dafür eine Perle verschoben (das ist dann ein "Übertrag"). In unserem Beispiel haben wir in Reihe 2 insgesamt 9 Perlen (=90) und in Reihe 1 ebenfalls 9 Perlen (=9), das Ergebnis ist also 99.
🧮 Ein weiteres Beispiel: 99 + 5 = ?
Zur im 1. Beispiel erhaltenen "99" wollen wir die "5" addieren. Auf Reihe 2 (den Zehnern) müssen also 9 Perlen verschoben sein, auf Reihe 1 (den Einern) müssen ebenfalls 9 Perlen bereits verschoben sein (das ist die 99). Um nun die "5" zu addieren, verschieben wir 1 Perle in Reihe 1, damit ist sie nämlich schon voll. (Wir merken uns, daß von den 5 noch 4 fehlen!).
Die gesamte Reihe 1 wird zurückgeschoben, aber in Reihe 2 (den Zehnern) wird 1 Perle verschoben. Aus 10 Einerperlen wurde 1 Zehnerperle! Nun wurde aber auch die Reihe 2 gefüllt, es waren ja schon 9 Perlen vorhanden, nun sind es 10. Auch die Reihe 2 wird komplett zurückgeschoben, dafür wird in Reihe 3 (den Hundertern) genau 1 Perle verschoben. Nun verschieben wir noch die fehlenden 4 Einer in Reihe 1 (die wir uns gemerkt haben). Es bleiben also: 1 Perle in Reihe 3 (=100), 0 Perlen in Reihe 2 (=0) und 4 Perlen in Reihe 1 (=4), das Ergebnis ist also 104.
Was sich hier sehr einfach anhört, kann beim Rechnen mit vielen Zahlen sehr schnell zu einer echten Erleichterung werden, insbesondere können Zwischenergebnisse nicht verloren gehen, da sie als Perlen auf Stäben wie in einem elektronischen Speicher festgehalten werden.Zitat➦ Der Abakus verlangt ein wenig Übung, ist aber ein recht schnelles Hilfsmittel und wurde noch vor wenigen Jahren z.B. in Rußland im Einzelhandel verwendet, um sekundenschnell Preise zu berechnen. Auch alle anderen Grundrechenarten sind mit einem Abakus sehr schnell möglich.[/size][/size][/size][/size]
ZitatLernbereich 1:
Mündliche/schriftliche Sprachhandlungskompetenz zur Bewältigung kommunikativer Situationen (=Pragmatik) und mündliche/schriftliche Textkompetenz zur Bewältigung bildungssprachlicher Anforderungen, realisiert mit Hilfe der vier Fertigkeiten
Hörverstehen und Hör-/Sehverstehen
Sprechen/Mündliches Sprachhandeln
Lesen und Leseverstehen
Schreiben/Schriftliches Sprachhandeln
ZitatLernbereich 2:
Linguistische Kompetenzen
Wortschatz
Strukturen: Wortformen (Morphologie), Satzbau (Syntax)
Aussprache
Schrift: Alphabetisierung bzw. Zweitschrifterwerb
Rechtschreibung (Orthografie)ZitatLernbereich 3:Lernbereich 4:
Sprachlernkompetenz (Sprachlernstrategien)
Selbstkompetenz, soziale Kompetenz, interkulturelle Handlungsfähigkeit
Für die Realisierung der kommunikativen Kompetenzen des Lernbereichs 1 mit Hilfe der vier Fertigkeiten sind die sprachlichen Mittel des Lernbereichs 2 die Grundlage und sie haben somit dienende Funktion.
Sich eine Sprache anzueignen, bedeutet zuallererst, den eigenen Handlungsraum zu erweitern. Im Mittelpunkt der Sprachförderung in der Deutschförderklasse steht deshalb zunächst die Ausbildung der mündlichen und erst in weiterer Folge der schriftlichen kommunikativen Handlungsfähigkeit. Dabei werden die rezeptiven Fertigkeiten (,,Hörverstehen und Hör-/Sehverstehen" und ,,Lesen und Leseverstehen") vor den produktiven Fertigkeiten (,,Sprechen/Mündliches Sprachhandeln" und ,,Schreiben/Schriftliches Sprachhandeln") entwickelt.
Für das Lesen und Schreiben sind schriftsprachliche Kenntnisse grundlegend. Die Vermittlung der Schreib- und Lesefähigkeit - ob als Alphabetisierung für Schülerinnen und Schüler, die bislang nicht lesen und schreiben gelernt haben, oder als Zweitschrifterwerb für Schülerinnen und Schüler, die bereits in ihrer Erstsprache alphabetisiert sind - geht diesen Prozessen voraus.
Schulische Lernangebote wecken die Motivation, das erworbene Wissen und Können in vielfältigen Kontexten anzuwenden. Um eine systematische Kompetenzentwicklung jeder Schülerin und jedes Schülers zu ermöglichen, werden je nach Alter und Entwicklungsstand der Jugendlichen unterschiedliche inhaltliche und methodische Schwerpunkte gesetzt. Die Themen und Lernsituationen beziehen sich sowohl auf Lebens- bzw. Handlungsbereiche der Schülerinnen und Schüler, wie Familie, Freizeit oder Öffentlichkeit, als auch auf die Lehrpläne der Unterrichtsgegenstände der jeweiligen Schulstufe. So ist kompetenzorientiertes Lernen einerseits an der Lebenswelt der Schüler*innen ausgerichtet und eröffnet andererseits allen Schülerinnen und Schülern Zugänge zum fachlichen Lernen. Letzteres kann durch die konkrete Erarbeitung der sprachlichen Grundlagen der Unterrichtsgegenstände (wie Fachwortschatz und fachsprachliche Strukturen) auf die Teilnahme vorbereiten, wodurch eine sinnvolle Verknüpfung von Sprach- und Fachlernen sichergestellt wird. Dafür ist eine intensive Kooperation zwischen der Lehrperson der Deutschförderklasse und den Fachlehrpersonen notwendig. Die Vermittlung sprachlicher Kompetenzen soll deshalb auch über die Vermittlung der fachlichen Grundlagen in den Grundkompetenzen (zB Mathematik oder Englisch) erfolgen.
Die im Folgenden tabellarisch aufgeführten Anforderungen benennen Kompetenzen, die die Schülerin bzw. der Schüler erwirbt und in altersgemäßen Kommunikationssituationen nachweisen muss. Im Unterricht werden die Kompetenzbereiche nicht isoliert behandelt, sondern sind Bestandteile eines Gesamtzusammenhangs.
Kommunikative Kompetenzen
Lernbereich 1:
Mündliche/schriftliche Sprachhandlungskompetenz zur Bewältigung kommunikativer Situationen (=Pragmatik) und mündliche/schriftliche Textkompetenz zur Bewältigung bildungssprachlicher Anforderungen
Kompetenzbereich Hörverstehen und Hör-/Sehverstehen
Die Schülerin/der Schüler versteht wesentliche Informationen in Gesprächen und sehr einfachen gesprochenen Texten zu vertrauten und konkreten Themen in Alltagssituationen sowie unterrichts- und sachbezogene mündliche Sprachhandlungen in der Standardsprache, vorausgesetzt es wird deutlich und langsam gesprochen. Sie/Er kann darauf sach- und situationsgerecht reagieren und bei Bedarf nachfragen.
Die Schülerin/der Schüler
versteht unterrichtstypische Sprachhandlungen (Fragen, Arbeitsanweisungen, Aufforderungen, Ankündigungen, Erklärungen).
versteht das Thema von kurzen Gesprächen, an denen sie/er nur als Zuhörer/in beteiligt ist.
erschließt die Hauptaussage einfacher sprachlicher Äußerungen und Gespräche im Unterrichtsalltag bzw. einfacher Sachdarstellungen aus dem Sprechkontext und entnimmt ihnen gezielt wesentliche Informationen.
verstehen die Hauptaussage einfacher und kurzer (auch literarischer), gesprochener Texte sowie klar strukturierter Situationen (zB Rollenspiele).
folgt kurzen und sprachlich einfachen Medienausschnitten zu bekannten Alltags- sowie Sachthemen (Hörtexte bzw. Hör-/Sehtexte wie Radio, Fernsehen, Film) und versteht deren Hauptaussage.
Kompetenzbereich Sprechen/Mündliches Sprachhandeln
Die Schülerin/der Schüler kann über vertraute Themen ihrer/seiner Lebenswelt und Sachverhalte mit einem begrenzten Repertoire an Wörtern und Strukturen zusammenhängend kommunizieren (mündliche Textkompetenz). Sie/Er bewältigt zunehmend komplexer werdende Sprachhandlungen in der mündlichen schulischen Interaktion. Dabei kann sie/er noch elementare und das Verständnis störende Fehler machen.
Die Schülerin/der Schüler
reagiert auf einfache Sprachhandlungen anderer und stellt selbst sprachliche Kontakte in vertrauten Situationen her, kann diese weiterführen und beenden.
wendet in kurzen, zielorientierten Alltagsgesprächen erlernte Wendungen und Ausdrücke an, kann sie an unterschiedliche Sprechsituationen anpassen und neu kombinieren, sofern es sich um einen vertrauten Kontext handelt.
bewältigt in einfacher Form Gespräche mit berichtendem, beschreibendem und erzählendem Charakter zu vertrauten Themen (Erfahrungen, Erlebnisse, Beobachtungen, Sachverhalte).
holt in kurzen und einfachen Dialogen Informationen ein und gibt Informationen weiter.
benennt und beschreibt Gegenstände, Personen, Lebewesen, Tätigkeiten, einfache Sachverhalte und Ereignisse (zB persönliche Daten, Familie, Schule, Essen, Wohnen, Freizeit, Natur und Umwelt).
drückt in kurzen, einfachen Sätzen konkrete Bedürfnisse, Beobachtungen, Meinungen, Gefühle und Stimmungen in vertrauten Situationen aus (zustimmen, ablehnen, Vorlieben äußern, fragen, nachfragen, auffordern, bitten, wünschen, danken, ua.).
begründet in einfacher Form Handlungen, Meinungen, Wünsche, Ziele, Absichten.
erzählt eine einfache zusammenhängende Geschichte anhand von Bildern, Stichwörtern oder anderen Impulsen bzw. gibt in einfachen zusammenhängenden Sätzen die Handlung von Geschichten, Büchern, Filmen wieder.
fasst in einfachen zusammenhängenden Sätzen die Hauptaussage von Sachtexten zu vertrauten Themen zusammen.
trägt eine vorbereitete Präsentation zu einem vertrauten Thema (Familie, Freizeit, Ausbildung) bzw. Arbeitsergebnisse zu einem vertrauten Sachthema vor und beantwortet einfache Informationsfragen.
bewältigt einfache und kurze mündliche Sprachhandlungen in formellen Situationen.
kennt und versteht basale Gesprächsregeln (zB anderen aufmerksam zuhören, andere aussprechen lassen, Blickkontakt aufnehmen bzw. erwidern, Redebedarf anzeigen, je nach Situation leise oder laut sprechen), versucht diese einzuhalten und besitzt das Wissen um Konventionen.
wendet stimmliche (Lautstärke, Betonung, Pause, Sprechtempo) und körpersprachliche (Mimik, Gestik) Mittel der Kommunikation an.
wendet im Fall von Nichtverstehen Strategien wie zB Nachfragen, Bitten um sprachliche Hilfe oder Klärung an und kann auch ihre/seine Erstsprache oder weitere Sprachen als Brücken-sprache(n) nutzen.
Kompetenzbereich Lesen und Leseverstehen
Die Schülerin/der Schüler liest und versteht kurze, einfache Texte (unterschiedliche Textsorten) zu vertrauten und konkreten Themen. Sie/Er erschließt sich deren Hauptaussage/n und entnimmt ihnen gezielt wesentliche Detailinformationen. Sie/Er nutzt dabei Hilfestellungen zur Texterschließung (zB Wortschatzliste, Bilder, Fragen).
Die Schülerin/der Schüler
verfügt über grundlegendes Leseverständnis auf der Wort- und Satzebene.
versteht wesentliche Informationen kurzer, konkreter schriftlicher Äußerungen und Arbeitsanweisungen.
liest einfache (auch literarische) Texte zu vertrauten Themen mit vorwiegend bekanntem Wortschatz, versteht sie global und entnimmt ihnen gezielt die wesentlichen Informationen.
versteht kurze und einfache authentische Texte zu vertrauten Themen global und entnimmt ihnen gezielt Detailinformationen (zB Texte aus Jugendzeitschriften, Zeitungsartikel, Fernseh-/Veranstaltungsprogramme, Gebrauchsanweisungen, Formulare, Prospekte, Broschüren, Fahrpläne uÄ.).
liest einen kurzen einfachen Text möglichst ausspracherichtig vor.
erschließt sich den Wortschatz und den Inhalt von kurzen, einfachen Texten mit Hilfe geeigneter Techniken, zB mittels (elektronischer) Nachschlagewerke.
nutzt Textsignale (Überschrift, Zwischenüberschrift, Hervorhebungen, Absätze, Einrückungen, Gliederungszeichen, begleitende Bildelemente) zum Textverständnis.
erschließt sich, mit Unterstützung, das Internet als Lesequelle.
Kompetenzbereich Schreiben/Schriftliches Sprachhandeln
Die Schülerin/der Schüler verfasst kurze, einfache Texte (unterschiedliche, aber bekannte Textsorten) zu vertrauten Themen ihrer/seiner Lebenswelt mit einem begrenzten Repertoire an Wörtern und Strukturen. Sie/Er nutzt dabei sprachliche Vorgaben als Hilfestellung. Sie/Er kann dabei noch elementare Fehler machen, dennoch wird klar, was sie/er ausdrücken möchte.
Die Schülerin/der Schüler
verfügt über grundlegende Kenntnisse der Schreibweise von Wörtern und Sätzen.
benennt und beschreibt Gegenstände, Personen, Lebewesen, Tätigkeiten, einfache Sachverhalte und Ereignisse mit einem begrenzten Wortschatz und einfachen Strukturen (zB persönliche Daten, Familie, Schule, Essen, Wohnen, Freizeit, Natur und Umwelt).
verfasst einfache persönliche Mitteilungen (Notizen, Einladungen, E-Mails, SMS, Nachrichten in Social Media ua.).
verfasst kurze und einfache Geschichten anhand von Bildern, Stichwörtern oder anderen Impulsen und stellt dabei einfache Satzverbindungen her (und, aber, weil, zuerst, dann, und dann).
bewältigt in einfacher Form schriftliche Sprachhandlungen mit berichtendem, beschreibendem und erzählendem Charakter zu vertrauten Themen (Erfahrungen, Erlebnisse, Beobachtungen, Sachverhalte).
verfasst einfache, kurze zusammenhängende Texte zu vertrauten Themen (Notizen, Beschreibungen, Zusammenfassungen).
hält gehörte, gelesene und medial vermittelte einfache und kurze Informationen stichwortartig fest.
verfasst einfache Präsentationen zu bekannten Themen und fasst Arbeitsergebnisse in einfacher Form schriftlich zusammen (Mind-Maps, Cluster uÄ.).
gestaltet einfache kreative Aufgaben zu Textvorlagen, wie Reime, Gedichte, Lieder, Sachtexte, Leserbriefe.
verwendet die wichtigsten Satzzeichen sinnbezogen (Punkt, Frage-, Ruf- und Redezeichen).
nutzt unter Anleitung einfache Überarbeitungsstrategien, um eigene Texte weiterzuentwickeln (sprachlich, inhaltlich, orthografisch).
ZitatLernbereich 2:
Linguistische Kompetenzen
Kompetenzbereich Wortschatz
Die Schülerin/der Schüler verfügt über einen gesicherten altersgemäßen Grundwortschatz (rezeptiv und produktiv) zur Ausführung der im Lernbereich 1 genannten Sprachhandlungen sowie über Ausschnitte aus dem Aufbauwortschatz und Fachwortschatz, die für ein Folgen des Unterrichts in der Regelklasse gebraucht werden.
Die Schülerin/der Schüler
verfügt in aktiver Sprachverwendung über grundlegende idiomatische Wendungen und einen standardsprachlich korrekten Grundwortschatz, der sich auf sein/ihr unmittelbares Lebensumfeld bezieht, muss aber noch nach Worten suchen.
erweitert in Ansätzen ihren/seinen passiven Aufbauwortschatz und Fachwortschatz über den Grundwortschatz hinaus, um verschiedene sach- und fachbezogene Unterrichtsaufgaben erledigen zu können.
verfügt in Alltagssituationen und im Unterricht über einige wichtige memorierte Wendungen (chunks).
erweitert ihren/seinen Wortschatz in vernetzter Form auf verschiedenen Ebenen kontinuierlich (ua. Wortbedeutung, Wortfeld, Wortfamilie, Oberbegriffe, Stilebenen).
fragt aktiv nach Bezeichnungen, Bedeutungen, Zusammenhängen und erschließt sich Bedeutungen aus dem Kontext sowie mit Hilfe von Wortbildungsregeln.
nutzt Hilfsmittel effektiv (zB ein- und zweisprachiges Wörterbuch, Bildwörterbuch, Bild-Wort-Kartei, digitale Wörterbücher und Lern-Apps etc.).
Kompetenzbereich Strukturen
Die Schülerin/der Schüler verfügt über ein Repertoire häufig verwendeter Strukturen zur Ausführung der im Lernbereich 1 genannten Sprachhandlungen. Sie/Er kann reguläre grammatische Formen erkennen und anwenden. Sie/Er kann noch elementare Fehler machen, zum Beispiel Subjekt-Verb-Kongruenz, Verbstellung oder Verwendung von Zeitformen.
Die Schülerin/der Schüler
verwendet einfache Satzmuster und Wendungen, um über sich selbst, andere Personen, Situationen oder Orte zu informieren.
beschreibt ihr/ihm vertraute Handlungen, Ereignisse und Sachverhalte als gegenwärtig, vergangen oder zukünftig.
drückt Bitten, Wünsche, Erlaubnisse, Verbote, Möglichkeiten, Fähigkeiten, Erwartungen, Verneinungen und Verpflichtungen aus.
drückt Modalitäten aus, zB mit Modalverben.
verbindet Wortgruppen und einfache Sätze mit Konnektoren (zB und, und dann, dann, wenn, aber, weil).
formuliert Fragen und Antworten.
stellt in spielerischer Form einfache Sprachvergleiche (auf Wort- und Satzebene) Formen und Strukturen (auch zwischen Sprachen, zB Verbstellung, Verbformen, Verneinung, Wochentage in mehreren Sprachen) an.
Kompetenzbereich Aussprache
Die Schülerin/der Schüler verwendet Artikulation und Intonation, die sich an der Standardsprache orientieren, weitgehend richtig, es kommt jedoch noch zu Interferenzen mit dem Lautsystem der Erstsprache.
Die Schülerin/der Schüler
bildet die meisten Laute und Lautgruppen korrekt.
bildet und unterscheidet ähnlich klingende Laute.
bildet kurze und lange, offene und geschlossene Vokale (zB in hoffen/Hof).
bildet Konsonantenhäufungen (zB in Herbst, springst, ängstlich).
macht unterschiedliche Sprechabsichten wie Aussage, Frage oder Aufforderung durch den richtigen Einsatz der Prosodie deutlich.
wendet Artikulation und Intonation in Lautgedichten, Wortspielen, Zungenbrechern uÄ. an.
Kompetenzbereich Schrift
Die Schülerin/der Schüler kennt die grundlegenden Laut-Buchstaben-Verbindungen der Standardsprache und kann alle Buchstaben der Schreib- und Druckschrift richtig schreiben.
Die Schülerin/der Schüler
entwickelt Fähigkeiten im Bereich der phonologischen Bewusstheit, beispielsweise werden Reime, Silben, Anlaute, Endlaute, Wortlängen und Lautsynthesen unabhängig von ihrer Schreibweise richtig erkannt.
erkennt Laute und Buchstaben als kleinste bedeutungsunterscheidende Elemente (Haus/Maus, Hase/Hose).
kennt den Unterschied zwischen Buchstabe und Laut.
wandelt Buchstaben in Laute um.
stellt Verbindungen zwischen den Lauten her (Lautverschmelzung).
ordnet einem bestimmten Laut den korrekten Buchstaben zu und schreibt ihn auf.
ordnet einem bestimmten Laut die korrekten Buchstabengruppe zu und schreibt sie richtig (ei, ie, eu, äu, au, sch, st, sp, qu, ck, ch, usw.).
schreibt Wörter des erlernten Wortschatzes, einfache Sätze und kurze, einfache Texte in gut lesbarer Schrift.
verwendet beim Schreiben eine ökonomische Stifthaltung und erreicht ein möglichst zügiges Schreibtempo.
kennt und nutzt die Vorteile einer ordentlichen Heftführung, beispielsweise Hinzufügen des Datums, Beachten von Rändern, Einsatz typographischer Mittel, Schreibrichtung, Orientierung im Heft.
Kompetenzbereich Rechtschreibung
Die Schülerin/der Schüler verfügt über Einsicht in erste orthografische Prinzipien innerhalb ihres/seines produktiven Wortschatzes.
Die Schülerin/der Schüler
kennt und verwendet orthografische und grammatische Regel- und Merkelemente, wobei es zum Teil noch zu Übergeneralisierungen kommt.
kennt die elementaren Regeln der Groß- und Kleinschreibung und die wichtigsten Interpunktionszeichen.
fragt aktiv nach einer bestimmten Schreibung und verfügt über Nachschlagetechniken (analog und digital).
Überfachliche Kompetenzen
ZitatLernbereich 3:
Sprachlernkompetenz (Sprachlernstrategien)
Kompetenzbereich Sprachlernkompetenz
Die Schülerin/der Schüler wendet Sprachlernstrategien mit Unterstützung und/oder selbstständig an, um Wortschatz und Sprachhandlungsfähigkeit zu erweitern.
Konkrete Sprachlernstrategien finden sich als Kompetenzbeschreibungen der Fertigkeiten und der sprachlichen Mittel (Lernbereiche 1 und 2).
ZitatLernbereich 4:RELIGION
Selbstkompetenz, Soziale Kompetenz, Interkulturelle Handlungsfähigkeit
Kompetenzbereich Selbstkompetenz
Die Schülerin/der Schüler kann ihre/seine Stärken und Fähigkeiten realistisch einschätzen und entsprechend einbringen, übernimmt Eigenverantwortung, zeigt Eigeninitiative und Engagement, hat Zutrauen zu sich selbst und in ihre/seine Sprach(lern)fähigkeiten und ist motiviert, Neues zu lernen oder zu schaffen.
Siehe auch Soziale und personale Kompetenzen. Lehrplanbezüge.
Kompetenzbereich Soziale Kompetenz
Die Schülerin/der Schüler lernt mit und von anderen, hilft anderen und bittet selbst um Unterstützung, hält vereinbarte Regeln ein, übernimmt Verantwortung und ist konfliktfähig.
Siehe auch Soziale und personale Kompetenzen. Lehrplanbezüge.
Kompetenzbereich Interkulturelle Handlungsfähigkeit
Die Schülerin/der Schüler ist zum Umgang mit gesellschaftlicher Vielfalt befähigt.
ZitatAls solche kommen in Betracht:
Übungen zur systematischen Hörerziehung mit Hilfe elektroakustischer Hörprothesen (individuelle Hörgeräte, Trainergeräte, Hör- und Sprechanlagen und ähnliches);
Übungen zur Verbesserung fehlerhafter Artikulation;
Übung zum Abbau behinderungsbedingter Leistungsrückstände.
ZitatJahrelang haben uns quadratische Funktionen in der Schule geplagt: von binomischen Formeln über die Geometrie von Parabeln bis hin zur beschleunigten Bewegung in der Physik. Doch tatsächlich haben die Graphen quadratischer Funktionen auch einen Nutzen, der häufig verschwiegen wird. Sie können dabei helfen, zwei Zahlen miteinander zu multiplizieren. Und vielleicht noch erstaunlicher: Die Idee lässt sich weiterspinnen und bildet einen wichtigen Zweig der Kryptografie.
Diese oft unerkannten Fähigkeiten quadratischer Funktionen kann man im Mathematikum in Gießen bewundern. Dort steht eine Parabel der Form x2, an der Schnüre befestigt sind. Möchte man herausfinden, was drei mal vier ergibt, dann befestigt man das eine Ende einer Schnur an dem Punkt auf der Parabel mit x-Koordinate minus drei (y = 9). Das andere Ende der Schnur hängt man an einen Punkt mit der x-Koordinate vier (y = 16) und zieht sie fest. Die Schnur bildet nun eine Gerade, welche die y-Achse im Punkt zwölf schneidet. Zufall? Probieren Sie es ruhig aus.
Exponat im Mathematikum Gießen | Indem man die Schnüre auf der Parabel spannt, kann man zwei Zahlen schnell miteinander multiplizieren.
Dafür muss man nicht einmal natürliche Zahlen betrachten. Man kann auf diese Weise beliebige Zahlen auf dem Zahlenstrahl miteinander multiplizieren. Zu beweisen, dass dieser Zusammenhang immer gilt, ist relativ einfach. Angenommen, man möchte zwei beliebige Zahlen a und b miteinander multiplizieren. Wenn man so vorgeht wie zuvor, befestigt man ein Ende der Schnur am Punkt (−a, a2) und das andere an (b, b2).
Parabeln als Rechenhilfe
Die dadurch entstehende Gerade y = mx + c schneidet die y-Achse im Punkt c. Um unsere Vermutung zu bestätigen, muss man also c berechnen. Die Geradengleichung besteht aus zwei Unbekannten, m und c, aber wir kennen zwei Punkte (−a, a2) und (b, b2), die auf der Geraden liegen. Das sind genügend Informationen, um alle Parameter festzulegen.
Dafür setzt man die x- und y-Koordinaten der beiden Punkte in die Geradengleichung ein und erhält daraus zwei Gleichungen, die man nach c auflösen kann. Der erste Punkt liefert den Zusammenhang: a2 = −ma + c und der zweite: b2 = mb + c. Indem man die zweite Gleichung nach m auflöst und in die erste einsetzt, ergibt sich: a2 = a(c−b2)/b + c. Wenn man diesen Ausdruck nach c auflöst, erhält man das Ergebnis: c = a·b.
Viele Menschen denken, Mathematik sei kompliziert und öde. In dieser Serie möchten wir das widerlegen – und stellen unsere liebsten Gegenbeispiele vor: von schlechtem Wetter über magische Verdopplungen hin zu Steuertricks.
Falls Sie also mal keinen Taschenrechner zur Hand haben und zwei Zahlen miteinander multiplizieren müssen, können Sie stattdessen eine Parabel aufzeichnen und zu Hilfe nehmen. Okay, ich gebe zu, das ist nicht wirklich praktikabel. Vor allem, wenn man das Produkt von nichtganzen Zahlen berechnen möchte: Das Ergebnis kann man höchstwahrscheinlich nicht exakt ablesen, sondern macht Rundungsfehler. Dennoch lässt sich das Produkt damit zumindest abschätzen.
Auf der Suche nach Primzahlen
Diese Eigenschaft kann man sogar nutzen, um Primzahlen zu finden! Und zwar ganz nach der Logik des Siebs von Eratosthenes: Dafür geht man jede natürliche Zahl auf dem Zahlenstrahl nach und nach durch und entfernt alle ihre Vielfachen – am Ende bleiben nur Primzahlen übrig. Indem man also alle ganzzahligen Koordinaten von Parabeln miteinander verbindet, bleiben auf der y-Achse nur noch jene ganzen Zahlen, die durch eins und sich selbst teilbar sind.
Primzahlsieb
Wie sich herausstellt, lässt sich die geometrische Multiplikation noch weiter verallgemeinern: Sie gilt nämlich nicht nur für reelle Zahlen a und b, sondern auch für komplexe Werte! Richtig anschaulich kann man das allerdings nicht machen, denn die Magie spielt sich in diesem Fall im Vierdimensionalen ab. Grund dafür ist, dass eine komplexe Zahl aus zwei Komponenten besteht: einem Realteil (reeller Wert) a und einem Imaginärteil (Wurzel aus einer negativen Zahl) b: z = a+ib, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die Wurzel aus minus eins ist. Um den Real- und Imaginärteil klar voneinander abzugrenzen, interpretiert man eine Zahl z als zweidimensionalen Punkt, a entspricht dann dem x-Achsenabschnitt und b der y-Koordinate.
Wenn man die Funktion f(z) = z2 geometrisch betrachtet, erhält man folglich eine vierdimensionale Oberfläche: Sowohl z als auch f(z) besitzen einen Real- und Imaginärteil. Grafisch lässt sich das Ganze also nicht mehr lösen, rechnerisch aber schon. Wenn man z1 und z2 miteinander multiplizieren möchte, kann man zwei Punkte auf der Funktion f(z) = z2 zu einer Geraden verbinden und bestimmen, wo sie die entsprechende zweidimensionale Ebene bei z = 0 schneidet.
Komplexe Ebene
Auch wenn die bisher beschriebenen Verfahren nur wenig praxisnahe Anwendung finden, begegnen wir tagtäglich einer Methode, die der Parabel-Multiplikation erstaunlich ähnelt. Dabei handelt es sich um die elliptische Kurven-Kryptografie, auf der heutige Verschlüsselungen basieren. In ihrer Form ähneln elliptische Kurven den bekannten quadratischen Funktionen. Sie werden durch folgende Gleichung beschrieben: y2 = ax3 + bx + c. Wenn a = 0 ist, beschreibt die Formel eine Parabel.
Von Parabeln zu elliptischen Kurven
Um eine sichere Verschlüsselungsmethode zu entwickeln, suchen Kryptografen nach mathematischen Aufgaben, die sich einfach berechnen, aber nur schwer umkehren lassen. Zum Beispiel: Man kann zwei große Primzahlen leicht miteinander multiplizieren (etwa mit Hilfe einer Parabel). Wenn man hingegen mit dem Produkt konfrontiert ist und auf die beiden Primteiler rückschließen soll, ist das erstaunlich schwierig. Tatsächlich basiert eine der ersten modernen Verschlüsselungen (die so genannte RSA-Methode) auf diesem Phänomen. Doch später wurde sie durch einen anderen Ansatz abgelöst, der erheblich schneller war: die elliptische Kurven-Kryptografie.
Das zu Grunde liegende mathematische Problem ähnelt dabei der Parabel-Multiplikation: Man definiert eine Art Addition (und daraus schließlich ein Produkt) auf einer elliptischen Kurve, indem man sich an den Punkten des Graphen entlang hangelt. Die Summe eines Punkts P und eines Punkts Q auf einer elliptischen Kurve lässt sich dann berechnen, indem man beide mit einer Geraden verbindet und den Punkt R ermittelt, an dem diese den Graphen nochmals schneidet. Das Ergebnis der Addition lautet: P + Q = −R.
Addition auf elliptischen Kurven
Die Multiplikation lässt sich definieren, indem man zunächst P + P = 2P berechnet. Dafür nähert man Q entlang des Graphen immer mehr an P an. Die dadurch entstehende Gerade wird somit letztlich zu einer Tangente in P. Angenommen, die Tangente schneidet den Graphen außerdem in S, dann entspricht S dem Doppelten von P: 2P = S. Indem man P und S wiederum durch eine Gerade verbindet, erhält man 3P und so weiter. Damit hat man eine (skalare) Multiplikation n·P auf elliptischen Kurven definiert.
Auf diese Weise sind heutige Daten gesichert: Man vervielfacht einen Punkt P, bis man den Punkt S erhält. Die Schwierigkeit besteht dann darin, die Zahl n zu finden, mit der P multipliziert wurde (n·P = S). Wie sich herausstellt, gibt es bisher kein Verfahren, um n schnell zu finden – zumindest mit herkömmlichen Computern. Für Quantencomputer sind hingegen Algorithmen bekannt, welche die elliptische Kurven-Kryptografie knacken können.
ZitatSie ist die wohl berühmteste Zahl des gesamten Fachs: Der Kreiszahl Pi wurden Lieder gewidmet, es gibt einen Kino-Thriller zu dem Thema, und zudem finden weltweit Wettbewerbe statt, bei denen sich die Teilnehmerinnen und Teilnehmer darin messen, wie viele der unendlich vielen Dezimalstellen sie sich merken können. Das alles ist kein neues Phänomen. Schon in der Antike versuchten Gelehrte, den Wert von π zu bestimmen – selbst in der Bibel taucht ein Abschnitt dazu auf.
In der Geometrie ist Pi allgegenwärtig. Kein Wunder, denn nur mit Hilfe dieser Zahl lässt sich der Umfang oder der Flächeninhalt eines Kreises bestimmen. Tatsächlich ist sie aber auch in vielen anderen Bereichen anzutreffen, die auf den ersten Blick nichts mit der Mathematik von Kreisen zu tun haben. Hätten Sie etwa gedacht, dass Ihnen π beim Billard begegnen kann – und zwar selbst dann, wenn man das Spiel mit Klötzen statt Kugeln spielen würde?
Mir begegnete Pi erstmals in der Schule, als wir den Umfang von Kreisen besprachen. Um diesen näherungsweise zu bestimmen, zeichnete meine Lehrerin zwei regelmäßige Vielecke ein: eines innerhalb des Kreises, wobei dessen Ecken daran angrenzten; sowie ein Polygon außerhalb das Kreises, wobei die Kanten den Bogen berührten. Indem man jeweils den Umfang (u und U) der Polygone durch ihren Durchmesser (d und D) teilt, erhält man eine Abschätzung für Pi: u/d ≤ π ≤ U/D. Je mehr Ecken die Polygone haben, desto genauer wird das Ergebnis.
Annäherungen an Pi
Heute berechnet man Pi mit Hilfe leistungsfähiger Computer und ausgeklügelter Algorithmen. Der aktuelle Rekord liegt bei 50 Billionen Stellen. Doch anstatt die effizientesten Berechnungsmethoden vorzustellen, möchte ich mich den erstaunlichsten widmen. Welcher Ort wäre dafür besser geeignet als eine Bar? Ich wette, Sie haben beim Billard bisher nur selten an Pi gedacht – vielleicht höchstens, weil Kugeln Teil des Spiels sind. Doch tatsächlich äußert sich die Kreiszahl nicht in der Spielfigur, sondern in der Anzahl der Stöße.
Der kaputte Billardtisch
Dafür kann man einen etwas einfacheren Aufbau betrachten als ein vollständiges Billardspiel. Stellen Sie sich vor, der Tisch besäße nur eine Bande und zwei Kugeln, die eine senkrechte Linie zur Bande bilden, und es gäbe keine Reibung. Wenn man die erste Kugel gerade auf die zweite zu stößt, dann bleibt die erste stehen, während sich die zweite Kugel mit der Geschwindigkeit der ersten vor dem Zusammenstoß auf die Bande zubewegt. Dort prallt sie ab und rollt in entgegengesetzter Richtung wieder auf die erste Kugel zu, wodurch es zu einem dritten Stoß kommt. Die zweite Kugel bleibt in ihrer Ausgangsposition stehen, während die erste vom Tisch herunterfällt (da die hintere Bande fehlt).
Stöße zweier Kugeln
Das ist erst einmal nicht überraschend. Interessanter wird es, wenn man das Experiment wiederholt – nur dass die erste Kugel dieses Mal das 100-Fache der zweiten Kugel wiegt. Die schwere Kugel prallt auf die leichte, diese saust sehr schnell Richtung Bande, während die erste (etwas langsamer) weiterrollt. Kurz darauf trifft die leichte Kugel auf die Bande, um dann gegen die schwere Kugel zu knallen, woraufhin sie erneut zur Bande rollt. Insgesamt finden in diesem Fall 31 Stöße statt, bevor beide Kugeln, die schwere und die leichte, vom Tisch fallen.
Noch erkennt man das Muster nicht ganz, aber Sie werden gleich ahnen, worauf das Ganze hinausläuft. Wiederholt man das Experiment mit zwei Kugeln, wobei die erste 10 000-mal schwerer ist als die zweite, gibt es insgesamt 314 Stöße, bevor die Kugeln herunterfallen. Haben die zwei Kugeln ein Gewichtsverhältnis von eins zu einer Billion, stoßen sie 3 141 592-mal gegeneinander. Das entspricht genau den ersten sechs Stellen von Pi!
Was unglaublich erscheint, lässt sich erklären, wenn man die zu Grunde liegende Physik untersucht. 2003 bewies der Mathematiker Gregory Galperin, dass in einem solchen Aufbau mit zwei Massen m und 100n · m stets 10nπ Stöße stattfinden. Das heißt, man kann auf diese Weise Pi bis zur n-ten Nachkommastelle bestimmen.
Logik
Den Geschwindigkeiten der Kugeln auf der Spur
Die Theorie elastischer Stöße fällt in den Bereich der klassischen Mechanik. Um es möglichst einfach zu halten, nimmt man dabei wie in der Physik üblich ideale Bedingungen an: Die Bande nimmt keinerlei Energie von der Kugel auf, die gegen sie prallt, und es gibt keine Reibung. Um die Bewegungen der Kugeln zu beschreiben, nutzt man häufig einen so genannten Phasenraum: Man visualisiert die Orte und die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln als Punkte in einem hochdimensionalen (da es drei Orts- und drei Geschwindigkeitskoordinaten gibt) abstrakten Raum.
Glücklicherweise ist das betrachtete System allerdings so einfach, dass man den Phasenraum weitaus unkomplizierter gestalten kann. Denn die Kugeln bewegen sich in dem Modell nur in eine Raumrichtung vor und zurück. Um das Auftauchen von Pi zu erklären, genügt es außerdem, bloß die Geschwindigkeiten der Bälle zu betrachten. Wir sind nämlich an den Richtungswechseln, die einem Stoß entsprechen, interessiert. Deshalb lässt sich der Phasenraum durch ein gewöhnliches kartesisches Koordinatensystem darstellen, wobei die x-Achse der Geschwindigkeit der ersten Kugel und die y-Achse der Geschwindigkeit der zweiten entspricht.
Wissenschaft in der Küche
Ein beliebiger Punkt in dem Koordinatensystem gibt also die Geschwindigkeit und Richtung (je nach Vorzeichen) der beiden Kugeln an. Doch nicht alle Werte sind möglich. Zum Beispiel ist die zweite Kugel immer langsamer oder maximal gleich schnell wie die erste ganz am Anfang. Um herauszufinden, welche Geschwindigkeitskombinationen erlaubt sind, braucht man die Energie- und die Impulserhaltung: Die Energie und der Impuls vor und nach einem Stoß bleiben im gesamten System immer gleich.
Starten wir mit der Energieerhaltung: Die Bewegungsenergie der ersten plus die der zweiten Kugel ist konstant. Indem man die Achsen des Koordinatensystems passend wählt, nimmt diese Formel die Gestalt einer Gleichung für einen Kreis an (v12 + v22 = konstant). Das heißt: Zu jedem Zeitpunkt nehmen die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln einen Wert auf dem Kreis im Phasenraum an.
Aber welchem Punkt entspricht das System zu einem bestimmten Zeitpunkt? Dafür kann man zunächst das System mit zwei gleichen Massen betrachten. Zu Beginn, wenn die zweite Kugel in Ruhe ist, bewegt sich nur die erste, das heißt, der y-Wert ist null. Daher befindet man sich bei einem Schnittpunkt des Kreises mit der x-Achse – das ist ganz links oder ganz rechts der Fall. Für welchen der zwei Punkte man sich entscheidet, hängt nur davon ab, wie man die Rollrichtung definiert. In unserem Fall starten wir ganz links. Die zweite Kugel bewegt sich die ganze Zeit mit konstanter Geschwindigkeit, daher bewegt sich der Punkt im Phasenraum nicht.
Stöße im Phasenraum
Doch dann kommt es erstmals zum Zusammenstoß mit der zweiten Kugel: Gemäß der Impulserhaltung bleibt die erste Kugel stehen (x = 0), während die zweite mit der Geschwindigkeit der ersten losrollt. Wir befinden uns also an einem Punkt, an dem der Kreis die y-Achse schneidet, beispielsweise am Südpol. Diesen Sprung vom äußersten linken Punkt zum Südpol bedingt die Impulserhaltung (Summe der Impulse beider Kugeln ist konstant), die als Formel ausgeschrieben im Phasenraum die Form einer Geraden annimmt. Möchte man wissen, wie man von einem Punkt im Phasendiagramm nach einem Zusammenstoß zum nächsten kommt, kann man die bewegliche Impulsgerade mit fixierter Steigung wie ein Lineal an einem Punkt auf dem Kreis anlegen und den zweiten Schnittpunkt mit dem Kreis bestimmen. In unserem Beispiel landet man dadurch, wie bereits erwähnt, beim Südpol.
Jetzt rollt die zweite Kugel mit gleich bleibender Geschwindigkeit auf die Bande zu, während die erste Kugel ruht. Sobald die zweite Kugel gegen die Bande knallt, rollt sie genauso schnell wie zuvor in die entgegengesetzte Richtung. Daher muss man den Punkt im Phasendiagramm an der x-Achse spiegeln: Die erste Kugel ruht noch immer, aber die zweite hat ihre Bewegungsrichtung gewechselt. Folglich landet man am Nordpol des Kreises.
Nach einiger Zeit trifft die zweite Kugel wieder auf die erste, und greift wieder die Impulserhaltung, das heißt, man kann die Impulsgerade an den Nordpol ansetzen und den Schnittpunkt mit dem Kreis ermitteln. Dieser befindet sich am äußersten rechten Rand des Kreises. Und das macht auch Sinn: Nach dem Stoß befindet sich die zweite Kugel in Ruhe (y = 0), und die erste rollt mit der gleichen Geschwindigkeit wie zu Beginn (nur in entgegengesetzter Richtung) weg – bis sie irgendwann vom Tisch rollt.
Kryptografie
Das Ganze lässt sich für andere Massenverhältnisse wiederholen. Auch dann bildet die Energieerhaltung einen Kreis. Die Impulserhaltung führt ebenfalls zu einer Geraden, allerdings mit einer anderen Steigung als zuvor. Das Vorgehen ist das gleiche wie zuvor: Man startet mit einer bewegten und einer ruhenden Kugel, also am äußersten linken Rand des Kreises, bei y = 0. Mit Hilfe der Impulsgeraden lässt sich der Punkt auf dem Kreis finden, welcher der Situation unmittelbar nach dem ersten Stoß entspricht. Dann knallt die zweite Kugel gegen die Bande (zweiter Stoß), es gibt einen Richtungswechsel für diese Kugel, daher spiegelt man den Punkt an der x-Achse. Daraufhin trifft sie auf die erste Kugel (dritter Stoß), weshalb man wieder die Impulsgerade heranzieht, um den passenden Punkt auf dem Kreis zu finden. Anschließend landet die zweite Kugel erneut an der Bande und so weiter – bis die zweite Kugel irgendwann nicht mehr genügend Bewegungsenergie hat, um die erste Kugel einzuholen. Im Phasendiagramm markiert das einen Punkt nahe der x-Achse im ersten Quadranten des Koordinatensystems.
Phasenraum
Die Anzahl der Stöße entspricht den Punkten (abzüglich des ersten) im Phasendiagramm. Für zwei gleich große Massen gibt es neben dem Startpunkt drei weitere, bei einem Massenverhältnis von 1 zu 100 hat das Phasendiagramm 31 Punkte, und bei einem Verhältnis von 1 zu 10 000 gibt es 314 Punkte. Indem man die erste Masse verhundertfacht, erhält man eine weitere Nachkommastelle von Pi.
Doch wie hängt die Anzahl der Stöße mit der Kreiszahl zusammen?
Einige von Ihnen haben es wahrscheinlich schon vermutet: Die irrationale Zahl steckt in der runden Geometrie des Phasenraums. Tatsächlich sind die Bogenlängen, die benachbarte Punkte auf dem Kreis einschließen, immer gleich groß. Wenn also N die Anzahl der Stöße bezeichnet, L die Bogenlänge und r den Radius des Kreises, dann ergibt sich die Ungleichung: N · L · r ≤ 2π r . Weil der Radius auf beiden Seiten auftaucht, kann man ihn wegstreichen. Im Folgenden nehmen wir einfach an, er habe die Länge eins.
Die Gleichung ergibt sich, weil die Bogenlängen, die durch die Punkte begrenzt sind, höchstens den ganzen Kreis abdecken: Endet das System in einem Zustand, bei dem die zweite Kugel sich noch bewegt, aber nicht schnell genug ist, um die erste einzuholen, dann liegt der letzte Punkt oberhalb der x-Achse. Steht die zweite Kugel hingegen still, landet der letzte Punkt genau auf der x-Achse.
Um zu verstehen, warum die Anzahl der Stöße N die Nachkommastellen von Pi preisgibt, muss man die Bogenlänge L in der obigen Gleichung bestimmen. Aus elementarer Kreisgeometrie (um genau zu sein: aus dem Sehnentangentenwinkelsatz) folgt, dass der Steigungswinkel der Impulsgeraden θ halb so groß ist wie der Kreisbogen L, der somit 2 θ bemisst. Das heißt, die Länge des Kreisbogens ist durch die Steigung der Impulsgeraden bestimmt.
Winkel und Bogenlängen im Phasenraum
Sieht man sich die Formel für die Impulserhaltung an und berechnet daraus die Steigung der Geraden im Phasenraum, erhält man: L = 2θ = 2 · arctan[√(m/M)]. Der Arcustangens lässt sich nur schwer im Kopf berechnen, doch für kleine Werte kann man ihn durch sein Argument nähern (arctanAuf diese Weise kann man die Kreiszahl – zumindest theoretisch – beliebig genau bestimmen. In der realen Welt wird das jedoch irgendwann schiefgehen. Zum einen wird es schwierig, eine so massige Kugel auf eine federleichte rollen zu lassen; zum anderen werden Effekte wie Reibung und Wärme dazu führen, dass die Stöße nicht 100-prozentig elastisch sind. Daher wird es zwangsweise zu Abweichungen kommen. Ganz zu schweigen davon, dass es ziemlich anstrengend wird, die unglaublich vielen extrem schnell aufeinander folgenden Stöße zu zählen, ohne dass sich ein Fehler einschleicht.
- ≈ x). Somit erhält man schließlich die Formel: N · √(m/M) ≤ π (die Zahl Zwei konnte man auf beiden Seiten der Gleichung kürzen). Damit N also die Nachkommastellen von Pi liefert, muss der Wert von √(m/M) Werte wie 1/10, 1/100, 1/1000 und so weiter annehmen. Und das ist immer dann der Fall, wenn das Massenverhältnis 1 : 100n beträgt.
Aber die Kollisionen beim Billard sind nicht die einzigen ungewöhnlichen Phänomene, mit denen man die Kreiszahl konstruieren kann. Tatsächlich ist Pi an wesentlich mehr unerwarteten Orten anzutreffen. In einer späteren Kolumne werden wir beispielsweise sehen, wo sich π in der Mandelbrotmenge versteckt.
ZitatEINFACHE WÖRTER
Man könnte zunächst annehmen, daß es die großen Wörter oder die technischen Ausdrücke sind, die am häufigsten mißverstanden werden. Das ist nicht der Fall. Tatsächlichen Untersuchungen zufolge waren es einfache Wörter, die das Verstehen verhinderten. Aus irgendeinem Grunde begreift man Wörter leichter als einfaches Deutsch. Wörter wie "ein", "der", "existieren", "solch" und andere Wörter, die "jeder kennt", tauchen mit großer Häufigkeit bei Wortklären auf. Sie ergeben eine Anzeige. Man braucht ein großes Wörterbuch, um diese einfachen Wörter vollständig zu definieren. Dies ist eine weitere Eigentümlichkeit. Die kleinen Wörterbücher gehen ebenfalls davon aus, daß jeder diese Wörter kennt. Es ist fast unglaublich, einen Hochschulabsolventen zu erleben, der jahrelang schwierige Fächer studiert hat und dennoch nicht weiß, was "oder", "durch" oder "ein" bedeutet. Man muß es gesehen haben, um es zu glauben. Aber wenn mit seinen Mißverständnissen aufgeräumt wird, verwandelt sich seine gesamte Ausbildung von einer festen Masse aus Fragezeichen in eine klare, nutzbringende Übersicht.
Ein Test mit Schulkindern in Johannesburg hat einmal ergeben, daß die Intelligenz mit jedem neuen Schuljahr abnahm! Die Antwort zu diesem Rätsel lag einfach darin, daß sie jedes Jahr ein paar weitere Dutzend zerschmetternde mißverstandene Wörter zu einem ohnehin schon verwirrten Wortschatz hinzubekamen, die sie niemals jemand nachschlagen ließ. Dummheit ist das Ergebnis mißverstandener Wörter. In den Bereichen, die der Menschheit die größten Schwierigkeiten bereiten, findet man die meisten Abänderungen von Fakten, die meisten verworrenen und einander widersprechenden Ideen und natürlich die größte Zahl mißverstandener Wörter.
Nehmen Sie als Beispiel nur die "Wirtschaftswissenschaften".
Das Gebiet der Psychologie begann seine Schriften, indem es sagte, man wisse nicht, was das Wort bedeute. Somit gelangte das Fachgebiet selbst nie zum Erfolg. Professor Wundt von der Universität Leipzig verdrehte 1879 den Begriff. Eigentlich bedeutet er nichts weiter als "Studium (ologie) der Seele (Psyche)". Aber Wundt, der unter den Augen Bismarcks des größten deutschen Militärfaschisten auf dem Höhepunkt des deutschen Kriegsehrgeizes arbeitete, mußte ableugnen, daß der Mensch eine Seele habe.
So ging das ganze Fachgebiet vor die Hunde! Von da an waren die Menschen Tiere (es ist in Ordnung, Tiere zu töten), und der Mensch hatte keine Seele; das Wort "Psychologie" konnte also nicht mehr definiert werden. Das früheste mißverstandene Wort in einem Gebiet ist ein Schlüssel zu späteren mißverstandenen Wörtern in diesem Gebiet.
Dann kommen Wörter wie "ein", "der" und andere einfache deutsche Wörter. Sie sind die nächsten Wörter, die oft eine Anzeige ergeben. Beim Studium einer Fremdsprache zeigt sich oft, daß die Grammatikausdrücke der eigenen Sprache, die die Grammatik der Fremdsprache beschreiben, die Grundlage dafür sind, daß jemand unfähig ist, die Fremdsprache zu lernen. Die Probe, ob jemand ein Wort versteht, ist: "Ergibt das Wort in Form eines Falls, wenn er es in dem Material, das geklärt wird, liest."
Es wird nicht akzeptiert, wenn jemand sagt, er kenne die Bedeutung. Lassen Sie es ihn nachschlagen, egal wie einfach das Wort ist.ZitatGRAMMATIK Bei allem Wortklären sollten alle Grammatikausdrücke und kleinen Wörter in einem einfachen Grammatiklehrbuch nachgesehen werden. Sehr wenige Wörterbücher haben vollständige Definitionen für solche Wörter, und sie enthalten keine Beispiele. Wörter wie "ein", "der" oder "und" sind wirklich Teile des Sprachgefüges, und sie sind komplexer, als sie anfangs erscheinen. Ein Wortklärungsauditor sollte sowohl ein einfaches Grammatikbuch als auch Wörterbücher zur Hand haben. Die besten Grammatiklehrbücher sind jene, die für Leute zusammengestellt wurden, denen eine Sprache fremd ist, wie z.B. Einwanderer. Bei diesen Büchern wird nicht von der Annahme ausgegangen, dass der Student bereits ein Deutschprofessor ist. Viele Beispiele – das ist das wirkliche Kriterium für eine gute Grammatik. Es kann einen Studenten wirklich aus der Bahn werfen, die Vorträge über das Studieren oder den Studentenhut ohne ein einfaches Grammatiklehrbuch zu studieren. Diese "einfachen" Wörter können riesige Felsbrocken sein, die einen auf dem Weg zum Wortclear behindern. Eine Grammatik ist also erforderlich. Wenn ein Student die Grammatik sehr unzulänglich beherrscht, ist es das beste, ihn ein einfaches Grammatikbuch von vorne bis hinten durcharbeiten zu lassen, bevor er beginnt, sich rein mit Wörtern zu befassen. Die Wörter werden für ihn in keinem Zusammenhang miteinander stehen. Es nimmt weniger Zeit in Anspruch, ein kurzes Grammatikbuch durchzuarbeiten, als sich die ganze Zeit mit der Grammatik herumzuschlagen.
Grammatik kann einem wie ein schreckliches Gebiet vorkommen – bis man es sich einmal wirklich anschaut. Dann ist es einfach.
VERWORRENE VORSTELLUNGEN
Jedesmal, wenn jemand eine verworrene Vorstellung von etwas hat oder glaubt, es gebe einen Widerspruch zwischen Ideen, so gilt immer, dass es an der Wurzel dieser Verwirrung ein missverstandenes Wort gibt.
Beispiel: ,,Ich verstehe diese Vorstellung von den entgegengesetzten Kräften einfach nicht. Ich finde, das sollte alles neu geschrieben werden, und ..." Methode2Wortklärer: ,,Gibt es da irgendein Wort, das du nicht verstehst?" Anzeige!
Student: ,,Oh nein, ich verstehe alle Wörter. Es ist..." ,,Welches Wort ist es, das anzeigt?"
,,Äh...äh...Kräfte?"
,,Ja, das ergibt eine Anzeige und einen Blowdown. Schlagen wir's mal nach."
,,Ach nein, ich weiß, was es bedeutet. Es ist die Vorstellung, daß..."
,,Schlagen wir es nach!"
,,Na gut. Also I...J...K...KR...KRÄFTE.
Hier ist es: 'Die Größe, die die Bewegung eines Körpers verändert, auf den sie einwirkt.'"
Wortklärer: ,,Verwende es einige Male in Sätzen."
Der Student macht das. ,,...hm...äh. Ich hab's! Zum Teufel, ich dachte, es bedeutet Brutalität der Polizei! Ich konnte mir nicht vorstellen, warum zwei Polizeikräfte sich bekämpfen sollten!"
Wortklärer: ,,Wie fühlst du dich nun über diese Vorstellung der entgegengesetzten Kräfte?"
,,Na, mal sehen. Ja, es ist völlig klar. Als ob ich es noch nie gelesen hätte!" Jede Gruppe unerfahrener Studenten wird über Vorstellungen oder Verwirrungen in den Anleitungen oder Materialien, die ihnen zum Lesen gegeben werden, diskutieren und viel Aufhebens machen. Sie werden seltsame Vorstellungen und falsche Auffassungen davon entwickeln, was der Text besagt. Sie machen Dinge falsch und sagen, im Text sei das so angegeben.
Sie stellen ihren Ausbildern Fragen über merkwürdige Vorstellungen.
Sie schreien nach ,,Klarstellungen".
Und an der Wurzel all dessen liegen einfach missverstandene Wörter!
Es gibt nicht außerdem auch mißverstandene Vorstellungen.
Es gibt nur das mißverstandene Wort, das sich riesig auftürmende falsche Vorstellungen erzeugt.
Ein missverstandenes Wort erzeugt seltsame Vorstellungen.ZitatVerworrene Auffassungen oder Vorstellungen vom Material
Super – Überlegenheit in Größe, Qualität, Anzahl oder Ausmaß.
Literatentum – Die Fähigkeit, zu lesen und zu schreiben.*Heutzutage ist fast jeder in der Lage, zu lesen und zu schreiben. Dies galt vor einem Jahrhundert noch nicht, aber aufgrund der Bedeutung, die der Ausbildung heute beigemessen wird, stimmt es nun. Aber reicht das heutzutage? Dies ist eine Welt der Betriebsanleitungen.
Die Zivilisation, in der wir leben, ist hochgradig technisiert. Ausbildung dauert heute bis in die Zwanziger. Das ist ein Drittel des Lebens einer Person.
Und was passiert, wenn jemand die Schule verlässt?
Kann er tun, was er studiert hat?
Hat er all seine Ausbildung, oder ließ er sie zurück?
Literatentum ist nicht genug. Die Schulen und die Welt von heute erfordern eine neue Fähigkeit – die Fähigkeit, eine Seite anzuschauen, ohne jede Anstrengung, und das aufzunehmen, was dort steht, und es sofort ohne irgendwelche Mühe anzuwenden.
Und ist das möglich?
Rede ich von Schnelllesen?
Nein. Dies bedeutet nur die Fähigkeit, schnell zu lesen. Es verbessert nicht den Grad davon, wie bequem man liest, und es verbessert nicht die Fähigkeit anzuwenden. Was wirklich gebraucht wird, ist die Fähigkeit, bequem und schnell Daten von einer Seite zu nehmen und in der Lage zu sein, sie sofort anzuwenden.
* Anm.d.Übs.: Das Wort existiert mit dieser Definition im Deutschen nicht. Das engl. ,,literacy" hat genau die angegebene Bedeutung, besitzt aber keine deutsche Entsprechung. Als zugehöriges Eigenschaftswort wird hier ,,literat" verwendet, d.h. jemand der lesen und schreiben kann, ist ,,literat".
Person, die dies tun könnte, wäre superliterat.
Was passiert?
Die durchschnittliche Person – literat – ist fähig, Wörter zu lesen und Wörter geistig aufzuzeichnen.
Etwa so: Wenn sie schreibt, schreibt sie: In ihrem Verstand werden Wörter als andere Wörter ,,verstanden", etwa so: Wenn man Superliterat ist, passiert das folgende: WörterWörterWörterWörterBegriffe WörterDieselben Wörter,jetzt in seinemVerstand.
Da man aufgrund von Begriffen (Ideen oder Dinge, die man versteht) handelt, kann dies geschehen: Und die Person denkt in Begriffen, denen sie Worte leicht zuordnen kann, und daher kann sie klar schreiben.
Anders ausgedrückt, wenn jemand ein Superliterat ist, dann liest er nicht Wörter, sondern Verständnisse.
Und somit kann er handeln.
BEGRIFFE
Die Idee, Wortbedeutungen begrifflich zu erfassen, ist etwas Neues im Gebiet der Linguistik. Die endlosen semantischen Kreise, denen Korzybski und Co nachgingen, führten niemals wirklich zu der Erkenntnis, dass ein Wort und seine Bedeutungen in dem zugrundeliegenden Begriff oder der Idee enthalten sind, die von diesem Wort symbolisiert werden. Dass das begriffliche Fassen von Bedeutungen den Wörterbuchschreibern und den ,,Experten" fremd ist, wird von der Tatsache bewiesen, dass Definitionen im Laufe der Zeit so starkem AlterIs und Veränderungen unterworfen sind.
Beispielsweise sind moderne Definitionen des Wortes ,,verstehen" weitgehend unzulänglich.
Eine wirklich vollständige und bedeutungsvolle Definition dafür konnte erst in der ersten Ausgabe des ,,Webster's Dicitionary of Synonyms" von 1942 gefunden werden: ,,Verstehen: eine klare und wahre Idee oder Vorstellung von etwas oder ein vollständiges und genaues Wissen über etwas haben. Allgemein kann man sagen, dass verstehen sich auf das Ergebnis eines geistigen Prozesses oder von Prozessen bezieht (eine klare und genaue Idee oder Vorstellung, oder vollständiges Wissen). Verstehen impliziert die Fähigkeit, einen klaren und wahren Eindruck zu empfangen und zu registrieren."
GEKLÄRTE WÖRTER
Da die Studiertechnologie in einer Gesellschaft operiert, die tief in missverstandene Wörter und MissDefinitionen verstrickt ist, ist sie Willkürlichkeiten ausgesetzt.
Daher wird ein Geklärtes Wort wie folgt definiert: Ein Wort, das bis zum Punkt vollständigen begrifflichen Verstehens geklärt worden ist.
Das Wort in Sätzen zu benutzen, bis die Bedeutung begrifflich erfasst wird, ist die am häufigsten verwendete. Zeichnungen, Demos, Knete, tatsächlich der gesamte Umfang der Studiertechnologie und ihre Methoden können angewendet werden.
Dies sind lebenswichtige Werkzeuge.
Sie sollen benutzt werden.
ZitatWenn Sie Probleme haben mit diesen phpScript, zögern Sie nicht, uns um Hilfe zu fragen.Danke!
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